Καθαρίζουμε και πλένουμε τα λαχανικά, τα κόβουμε σε κυβάκια και τα τσιγαρίζουμε σε αντικολλητικό τηγάνι με λίγο λάδι. Προσθέτουμε και το σκόρδο που έχουμε νωρίτερα ξεφλουδίσει. Αλατίζουμε και μαγειρεύουμε σε μέτρια θερμοκρασία για περίπου 15 λεπτά, ανακατεύοντας συχνά. Προσθέτουμε τον βασιλικό ψιλοκομμένο, ανακατεύουμε και σβήνουμε το μάτι.

Σπάμε τα αβγά μέσα σε ένα μπολ, προσθέτουμε μία πρέζα αλάτι και τα χτυπάμε με ένα πιρούνι. Λιώνουμε το βούτυρο σε ένα μεγάλο τηγάνι, ρίχνουμε τα αβγά, ανακατεύουμε για λίγα δευτερόλεπτα και μαγειρεύουμε την ομελέτα με σκεπασμένο το σκεύος, σε χαμηλή θερμοκρασία, για 4-5 λεπτά μέχρι να ψηθεί παραμένοντας σχετικά υγρή στο κέντρο.

Προσθέτουμε τα λαχανικά στο κέντρο της ομελέτας και το Philadelphia με μικρές κουταλιές. Διπλώνουμε την ομελέτα πάνω από τη γέμιση, την αφήνουμε να ξεκουραστεί για λίγα λεπτά με σκεπασμένο το σκεύος και το μάτι κλειστό έτσι ώστε να λιώσει το Philadelphia και σερβίρουμε.