Στον κάδο του μίξερ ρίχνουμε όλα τα υλικά για τη ζύμη και τα χτυπάμε για 3-4 λεπτά, μέχρι να σχηματιστεί μια απαλή ζύμη που δεν κολλάει στα τοιχώματα.

Σκεπάζουμε το μπολ με μεμβράνη και αφήνουμε τη ζύμη σε ζεστό σημείο, μέχρι να φουσκώσει και να διπλασιαστεί σε όγκο.

Όσο περιμένουμε, σε έναν πολυκόφτη ρίχνουμε τα φύλλα βασιλικού, το σκόρδο, το λάδι, το αλάτι, το πιπέρι και χτυπάμε για 1 λεπτό. Μεταφέρουμε το μείγμα σε ένα μπολ, προσθέτουμε το τυρί κρέμα Philadelphia και ανακατεύουμε.

Χωρίζουμε τη ζύμη σε 4 ίσα μέρη και με τη βοήθεια του πλάστη ανοίγουμε κάθε κομμάτι σε φύλλο διαμέτρου περίπου 35 εκατοστών.

Τοποθετούμε το πρώτο φύλλο πάνω σε λαδόκολλα, απλώνουμε το 1/3 της γέμισης, προσθέτουμε το δεύτερο φύλλο και απλώνουμε άλλο 1/3. Επαναλαμβάνουμε με το τρίτο φύλλο και την υπόλοιπη γέμιση, ενώ το τελευταίο φύλλο το τοποθετούμε από πάνω χωρίς γέμιση.

Στο κέντρο τοποθετούμε ένα μπολ διαμέτρου 5 εκ. και με ένα κοφτερό μαχαίρι κόβουμε κατά μήκος τη ζύμη σε 16 ίσα μέρη.

Σχηματίζουμε τις ακτίνες του αστεριού, στρίβοντας τα κομμάτια ανά δύο σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Σκεπάζουμε με μεμβράνη και αφήνουμε να ξεκουραστεί για περίπου 15 λεπτά.

Αλείφουμε την επιφάνεια με το χτυπημένο αυγό και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200°C για 15 λεπτά ή μέχρι να πάρει ένα χρυσαφί χρώμα.